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在前一篇文章中，我们讨论了枢轴量法，并通过它对正态分布参数进行了区间估计。然而，正态分布的点估计具有独特的性质，使得其区间估计相对容易。接下来，我们将探讨其他分布的区间估计方法。
指数分布 (E(\lambda)) 的参数 (\lambda) 的区间估计是一个常见问题。由于 (\bar{X}) 是 (1/\lambda) 的无偏无偏估计量，因此 (\lambda) 的区间估计需要通过 (\bar{X}) 或其与 (\chi^2) 分布的关系来构造。
对于指数分布，样本和 (\Gamma(n, \lambda)) 服从，于是 (2\lambda T) 服从 (\chi^2(2n)) 分布。因此，枢轴量 (2\lambda T) 的观测值可以通过等尾区间来确定：
[2\lambda T \in [\chi^2_{1-\alpha/2}(2n), \chi^2_{\alpha/2}(2n)]]
因此，(\lambda) 的 (1-\alpha) 置信区间为：
[\left[\frac{\chi^2_{1-\alpha/2}(2n)}{2T}, \frac{\chi^2_{\alpha/2}(2n)}{2T} \right]]
通过模拟实验验证，发现该置信区间在 10000 个样本中有 502 个不包含真值的估计。
对于均匀分布 (U(0, \theta))，其充分统计量为样本最大值 (X_{(n)})。根据 LS 定理，(\theta) 的无偏估计量为 (\frac{n+1}{n} X_{(n)})。因此，枢轴量的构造基于统计量 (T = X_{(n)})。
通过枢轴量分析，我们可以将 (\theta) 的区间估计转化为：
[\frac{T}{\theta} \sim Y_{(n)} \sim \text{Beta}(n, 1)]
其中 (Y_1, Y_2, \ldots, Y_n) 独立同分布于 (U(0, 1))。因此，枢轴量的密度函数为：
[g(x) = n x^{n-1} I(0 < x < 1)]
而 (\frac{\theta}{T}) 的密度函数为：
[f(x) = n x^{-(n+1)} I(x > 1)]
为了找到包含 (\theta/T) 的置信区间，我们需要解决以下优化问题：
[\min l, \quad \text{s.t. } \frac{1}{c^n} - \frac{1}{(c + l)^n} = C]
通过分析，我们发现最佳选择为 (c = 1)，此时置信区间为：
[[T, T / \sqrt[n]{\alpha}]]
极限分布是指统计量的分布随着样本容量 (n) 趋向于无穷时的行为。中心极限定理是分析极限分布的重要工具，它表明：
[\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{\sigma} \stackrel{d}{\to} N(0, 1)]
当 (\sigma) 和 (\mu) 已知时，统计量的分布会趋向于标准正态分布。中心极限定理和大数定律共同构成了统计学的基础。
在小样本情况下，某些参数的区间估计难以构造，但通过极限分布，我们可以给出近似置信区间。
例如，对于二项分布 (B(1, p))，其均值 (\mu = p) 的置信区间可以通过中心极限定理构造为：
[\left[ \bar{X} - \sqrt{\frac{\bar{X}(1 - \bar{X})}{n}} u_{\alpha/2}, \bar{X} + \sqrt{\frac{\bar{X}(1 - \bar{X})}{n}} u_{\alpha/2} \right]]
类似地，对于泊松分布 (P(\lambda))，均值 (\mu = \lambda) 的置信区间为：
[\left[ \bar{X} - \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}} u_{\alpha/2}, \bar{X} + \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}} u_{\alpha/2} \right]]
区间估计的核心在于利用统计量的渐近分布。通过枢轴量法和中心极限定理，我们可以在许多分布中构造近似置信区间。然而，对于一些复杂分布，如柯西分布，我们需要特定的方法来估计总体中位数。
接下来，我们将探讨假设检验，这是统计学中的另一个重要组成部分。
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